Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji (953 - 1029), que també és conegut per al-Karkhi, va ser deixeble de Abu’l-Wafa, que va fer una traducció de l’Aritmètica de Diofant. Al-Karaji es va interessar per l’obra del matemàtic grec, però des del punt de vista d’un successor d’al-Khwarizmi, és a dir, amb l’interès en la resolució d’equacions. A més, va intentar generalitzar molts resultats de Diofant, a més de donar problemes nous.
Se li atribueix la resolució de l’equació ax2n + bxn = c .
Encara que també utilitza qualque demostració geomètrica, al-Karaji comença a tractar l’àlgebra com una branca independent de la geometria. Va estudiar les operacions algèbriques, equiparant-les a les aritmètiques.
Va estar a prop d’arribar al resultat xm·xn = xm+n , però va tenir problemes per la potència 0.
Va donar regles per la multiplicació i divisió monomial. En els seus arguments utilitza uns arguments molt similars a la inducció.
A diverses obres, al-Karaji calcula les potències de monomis com (a+b)3 , (a-b)3 i (a+b)4arribant a (a+b)5. S’adona que els coeficients de totes aquestes potències es poden aconseguir per mitjà de la potència anterior, formant així una taula com la del que coneixem com triangle de Pascal ( o Tartaglia).
Al-Karaji troba la manera de calcular la suma dels n primers nombres, així com la suma dels n primers quadrats i dels n primers cubs.
Per exemple,
en el cas dels cubs, demostra que (1 + 2 + ... + 10)2 = 13
+ 23 +33 +...+ 103. per fer-ho, demostra
que (1 + 2 + ... + 10)2 = (1 + 2 + ... + 9)2 + 103
i seguint el mateix raonament per als nou primers nombres, i successivament
fins arribar al resultat desitjat.
