al-Khwarizmi: el pare de l’àlgebra
 

Al-Khwarizmi està considerat com el primer matemàtic àrab. També va ser astrònom i geògraf.Va viure del 780 al 850, aproximadament. El seu nom complet és al-Djafar Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, que significa Mahommed, fill de Musa, natural de Khwarizm (actualment a Uzbekistan, a una regió al voltant del mar d’Aral ), i pare de Jafar.
 

Se sap molt poc de la seva vida. Va realitzar molts viatges per Afganistan, pel sud de Rússia, i Bizanci, realitzant observacions científiques i recollint material d’investigació. L’any 820, després d’obtenir reputació com a científic, va ser cridat pel califa al-Mamun, per ser anomenat astrònom primer, i més tard cap de la Casa de la Saviesa. Així, es convertí en un recopilador de coneixements de Grècia i la Índia, dirigint la feina de traducció. Va adoptar el rigor dels grecs i la simplicitat dels hindús.

Per ell, les matemàtiques havien de servir per solucionar problemes pràctics, com ara determinar herències, construir calendaris,...

Al-Khwarizmi és molt conegut gràcies al seu llibre sobre aritmètica De numero indorum, on s’introdueix a Europa el sistema de numeració hindú, el sistema que actualment utilitzam, a més del nombre zero. D’aquí, se’n derivaren les paraules guarisme i algorisme.

Però, a-Khwarizmi té com a obra més important una altra: al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala, d’on té l’origen la paraula àlgebra.

Unes de les particularitats de la seva obra és que està escrita sense utilitzar sincopacions, és a dir, tot ho escriu de manera literal, fins i tot els nombres. A més, tampoc utilitza els nombres negatius.
 

Al-jabr wa'l-muqabala

Com acabam de dir, aquesta va ser l’obra més important d’alKhwarizmi. S’han conservat dues versions, l’àrab i la traducció llatina, que es va convertir en un llibre de text o els europeus començaren l’estudi de l’àlgebra. El llibre té l’objectiu de donar una sèrie de mètodes per trobar la solució d’equacions, sobretot les quadràtiques. Precisament, aquí té l’origen la noció d’equació, prenent força el concepte d’igualtat. Al-Khwarizmi anomena cosa (chei en àrab) al valor que desconeix, la incògnita.Tracta la incògnita com si fos un altre nombre.

Utilitza tres tipus de quantitats: quadrats, arrels i nombres (x2, x, unitats). Abans de res, classifica en sis tipus les equacions de segon grau, donant un mètode de
resolució per cada un:

1.Quadrats igual a arrels

dóna tres exemples, segons el coeficient del quadrat ( igual , major o menor a 1):

    ·x2 = 5x , amb solució x = 5

    ·x2 / 3= 4x, amb solució x =12

    ·5x2 = 10x, amb solució x =2

No es reconeix com a tal la solució x = 0.
 

2.Quadrats igual a nombres

també dona tres exemples

3.Arrels igual a nombres

tres nous exemples
 

4.Quadrats i arrels igual a nombres

    ·x2 + 10x = 39

    ·2x2 + 10x = 48

    ·x2 /2+ 5x = 28

Dóna només la solució positiva.
 

5.Quadrats i nombres igual a arrels

Dóna un únic exemple, x2 + 21 = 10x, trobant les solucions x = 3 i x = 7, utilitzant la regla





6.Arrels i nombres igual a quadrats

També dóna un únic exemple: 3x + 4 = x2 , trobant la solució amb la regla
 
 





Adverteix de la necessitat de tenir la unitat com a coeficient del quadrat. En cas contrari, s’ha de reduir a aquesta forma dividint per aquest coeficient.
 

Per poder considerar totes les equacions d’aquest tipus, al-Khwarizmi introdueix dues operacions: al-jabr i al-muqabala. La primera, que significa restaurar, completar, serveix per passar els termes negatius a l’altre membre de l’equació. La segona, que significa compensar, serveix per la simplificació de termes semblants amb coeficients negatius i positius. Així, es transformax2 = 40x - 4x2en 5x2 = 40x , i també 50 + 3x + x2 = 29 + 10x en 21 + x2 = 7x.

Per resoldre l’equació x2 + 10x = 39, dóna el mètode algebraic següent:
 

“... el mètode per resoldre aquest tipus d’equació és agafar la meitat de les arrels. Ara, en aquest problema deu. Per tant, agafam cinc, que multiplicat per ell mateix dóna vint-i-cinc, quantitat que hem d’afegir a trenta-nou, obtenint seixanta-quatre. Agafant l’arrel quadrada d’això, que és vuit, i restant la meitat de les arrels, cinc, tenim tres. El nombre tres representa una arrel del quadrat, que és per tant nou. “

Amb la nostra notació queda un poc més clar:

x2 + 10x = 39
x2 + 10x + 25 = 64
(x+5)2 = 64
x +5 = 8
x = 3
Al-Khwarizmi justifica tots aquests mètodes de forma geomètrica, cosa que evidencia una forta influència grega.
 

Cas quadrats i arrels igual a nombres (x2 + 10x = 39)

1.Consideram un quadrat de costat x, i per tant d’àrea x2.

2.Afegim quatre rectangles, un a cada costat del quadrat, amb amplada      3.Ara, per “completar el quadrat” hem d’afegir quatre quadrats de de costat. Per tant, afegim quatre vegades , que és 25. Així, obtenim un quadrat de 64 unitats d’àrea.     4.Per tant, els costat del nou quadrat és 8 i x val tres.

Cas quadrats i nombres igual a arrels( x2 + 21 = 10x )

1.Consideram un quadrat de costat x.

2.Afegim un rectangle d’àrea 21, amb un costat igual a x.

3.Tota la figura té d’àrea 10x, amb un costat que mesura x i l’altre 10. Construïm un quadrat de 5 unitats de costat.

4.Completam el quadrat A, de costat 5-x.

5.Els rectangles B i C són iguals, ja que tenen per costats 5-x i x.

6.Per tant, el quadrat A té una àrea de 4 unitats, i costat 2 ().

7.Ara, x = 5 – 2 = 3


 
 

Per trobar l’altra solució, hem de considerar x > 5 i una figura semblant.
 

Cas arrels i nombres igual a quadrats ( 3x + 4 = x2 )

Aquest cas es deixa com exercici. Com indicació aquí teniu la figura resultant.

També mostra com operar amb expressions algebraiques senzilles (tot amb paraules, recordem): multiplicant binomis i trinomis.
 
 

Aplica l’àlgebra al càlcul d'àrees de figures com el cercle i volums de sòlids com l'esfera, el con, i la piràmide. Per últim tracta problemes d'herències segons la llei islàmica.
 
 

El successors d’al-Khwarizmi utilitzaren aquest llibre com a “receptari”, ja que quan obtenien una equació d’un dels sis tipus deixaven indicat que en aquell moment es resolia a partir dels mètodes de l’àlgebra.
 
 

Al-Khwarizmi pot ser considerat com el pare de l’àlgebra, encara que la seva obra pot ser més simple que la de Diofant, i el fet de no utilitzar cap tipus de sincopació. No es fixa en problemes difícils, om fa Diofant, es proposa l’exposició directa i elemental de la resolució d’equacions, intentant posar les matemàtiques al servei de la gent.
 

De numero indorum

De la seva aritmètica, potser anomenada originalment Kitab al-Jam'a wal-Tafreeq bil Hisab al-Hindi, només conservem la versió llatina, De numero Indorum, del segle XII. En aquesta obra, basada segurament en una traducció àrab del Sindhind del matemàtic hindú Brahmagupta, descriu amb detall el sistema de numeració posicional en base 10 i mètodes per fer-hi càlculs. Com ja hem comentat, aquesta obra fou cabdal per a la introducció d'aquest sistema de numeració al món àrab i posteriorment a Europa.
 
 

A l’explicació sobre el zero comenta:

“Quan a una resta no queda res, escriu un petit cercle per que aquell lloc no quedi buit”
 
 

A part, recomanava escriure els zeros intermitjos per no confondre les posicions.

Va escriure un altre llibre d’aritmètica, on descriu algorismes per calcular dates. També apareixen les primeres taules conegudes de les funcions sinus i cotangent.
 

Altres obres
 
 

Al-Khwarizmi, va ser també astrònom i geògraf. Va escriure les obres següents:
 
 

Un tractat sobre Astronomia, Sinshind zij, del qual s'han perdut les dues versions que va escriure en àrab, però es conserven dues versions llatines del segle X. Hi inclou estudis de calendaris, posicions reals del sol, la lluna i els planetes, taules de sinus i tangents, astronomia esfèrica, taules astrològiques, càlculs de paral·laxi i eclipses, i visibilitat de la lluna.
 
 

En Geografia, amb una obra anomenada Kitab Surat-al-Ard, revisà i corregí Ptolomeu pel que fa a l'Àfrica i l'Orient, revisant també la longitud del mar Mediterrani. Llista latituds i longituds de moltes ciutats àrabs.
 
 

Sobre la paraula algorisme
 
 

Encara que no sigui l’inventor del primer algorisme, al-Khwarizmi es mereix dur associat aquest nom.
 
 

L’exposició de com calcular de manera sistemàtica per mitjà de mètodes dissenyats per ser utilitzats amb qualque dispositiu mecànic similar a un àbac, més que amb llapis i paper, demostra la seva intuïció i el seu poder d’abstracció. A més, es va preocupar de reduir al màxim el nombre d’operacions. Al-Khwarizmi va ser el primer pensador algorísmic.