La trigonometria àrab: Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi


La trigonometria era una eina que s’utilitzava a l’astronomia. Els grecs es dedicaven a estudiar les cordes de la circumferència. En canvi, els hindús es decantaven per les mitges cordes, que són el que ara es coneix com sinus.
 

En un principi, es varen donar els dos tipus dins la trigonometria àrab, encara que més tard es decantaren pel sistema hindú. Així, proliferaren les taules de sinus als tractats d’astronomia. D’aquesta manera, s’introduïren a Europa el sinus, encara que el nom prové d’un error en la traducció. En sanscrit s’utilitzava la paraula jiva, que vol dir mitja corda. En àrab va adoptar la forma jiba, que vol dir bossa. Però per a la traducció al llatí, es va agafar la paraula àrab jaib, que vol dir badia, sinus en llatí.
 

Les diverses raons trigonomètriques que coneixem actualment, tenen aparició a conseqüència de la teoria de longituds d’ombres respecte d’una unitat determinada. Per exemple, la cotangent de l’angle d’elevació del Sol sobre l’horitzó és l’ombra horitzontal que es projecta per una vareta vertical. Si ho feim a la inversa, és a dir, calculam l’ombra vertical d’una vareta que està en posició horitzontal clavada a una paret, obtenim la tangent. Si mesuram la “hipotenusa de l’ombra”, és a dir, la distància entre l’extrem de la vareta i l’ombra, tendrem la cosecant i la secant per al cas invers. Aquestes dues darreres, es tabulaven molt poc sovint.

Al-Khwarizmi va ser el primer en establir taules de sinus. Un poc més tard, Habash al-Hasib, que vol dir “el calculador”, fou el que segurament començà a determinar la distància del que ara anomenan tangent.


Al- Battani

 
Abu Allah Mohammad ibn Jabir al-Battani ( 850-929) és el primer gran astrònom àrab que va obtenir nous resultats sobre la trigonometria. A ell se li atribueix la fórmula
 
on a i b són els catets d’un triangle rectangle. Notem que no apareix el cosinus, si no que el sinus de l’angle complementari, que és una forma equivalent. Més tard, aquesta fórmula prendrà la forma a = b tg A.
 
Com astrònom va catalogar una gran quantitat d’estrelles i diverses dades astronòmiques amb molta precisió. Per a la seva feina, va utilitzar sinus, tangents i cotangents.
 
Va construir taules de cotangents. També va fer feina sobre triangles esfèrics.


Els seus treballs sobre la variació de la distància entre el Sol i la Terra varen tenir influència en els matemàtics posteriors, com per exemple Tycho Brahe, Kepler, Galileu i Copernic .

Abu’l-Wafa

Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani va viure del 940 al 998. Va ser un gran astrònom i un dels darrers traductor d’obres gregues. Va estar al servei del califa a la cort de Bagdad. Totes les seves obres estan escrites sense utilitzar símbols ni xifres, i amb els càlculs fets mentalment.

Va escriure diversos comentaris sobre Euclides, Diofant i al-Khwarizmi, encara que tots s’han perdut; taules astronòmiques ( zij al-wadih ), un llibre sobre aritmética (Kitab al-kamil), basat en l’Almagest de Ptolomeu.

Un altre llibre sobre aritmètica va ser el Kitab fi ma yahtaj ilayh al-kuttab wa'l-ummal min 'ilm al-hisab , que significa llibre del que és necessari de l’aritmètica per escribes i comerciants, on tracta sobre les fraccions, les operacions aritmètiques, mesures, etc.

En el seu llibre sobre geometria, Kitab al handasa,soluciona problemes com la construcció de quadrats equivalents, d’heptàgons regulars, paràboles, ... amb l’ajuda del compàs. També dona una resolució geomètrica de l’equació x4 = a i x4 + ax4 = b.

Però si el tractam en aquest apartat és perquè la seva aportació a la trigonometria va ser important. Se li atribueix la generalització del teorema del sinus per a triangles esfèrics. Va donar nous mètodes per fer les taules de sinus. Va construir una taula de quart en quart de grau i amb vuit xifres decimals. Va fer els seus càlculs en les sis funcions trigonomètriques, i va estudiar relacions entre elles..

Coneixia relacions per al sin(a+b)i les fórmules

2sin2(a/2) = 1- cos a

sin a = 2 sin(a/2) cos (a/2).

Ibn Yunus

Abu'l-Hasan Ali ibn Abd al-Rahman ibn Ahmad ibn Yunus al-Sadafi (950 – 1009 ) va ser un gran astrònom i matemàtic que va desenvolupar la branca de la trigonometria. Ibn Yunus va viure a el Cairo, on es va poder aprofitar de la fundació d’una acadèmia de les ciències. Com passava a les acadèmies similars, l’observatori astrològic era una part essencial. Ibn Yunus va fer feina en aquest observatori. Un dels seus companys més celebres va ser Ibn al-Haitam. Va utilitzar totes les eines que ja disposava per millorar la precisió de moltes dades astronòmiques.

Va descobrir noves solucions a problemes de trigonometria esfèrica. Però el resultat més destacat que va obtenir va ser el següent:

2 cos x · sin y = cos (x+y) + cos (x-y)

Aquesta fórmula, es va utilitzar fins al segle XVI per el càlcul de productes a partir de sumes ( en aquell moment varen aparèixer els logaritmes).
 

Nasir al-Tusi

Muhammad ibn Muhammad ibn al-Hasan al-Tusi, o simplement Nasir al-Din al-Tusi, (1201 - 1274), . Va viure l’època de la invasió mongola per Genguis Khan. Concretament, al-Tusi es trobaba a la fortalesa d’Alamut, seu de la secta dels hashashins, quan aquesta va caure en mans dels mongols.

Va ser enviat a estudiar a Nishapur, on també va estudiar Khayyam, i va seguir els seus passos en l’estudi dels quint postulat sobre les paral·leles d’Euclides. Sobre aquest tema escriu:

“si unes linies rectes situades en el mateix pla divergeixen en una direció, no poden convergir en aquesta direcció llevat de que es trobin.”
 

Aquest matemàtic té una gran importància per a la trigonometria ja que és el primer que escriu un tractat que exposa aquest estudi d’una manera independent, deslligada a l’astronomia. Aixì, al-Tusi pot ser considerat com el fundador de la trigonometria com a la geometria del cercle i de l’esfera.

La seva feina conté també la coneguda fórmula dels sinus: