La k-colorabilitat

En l'apartat anterior hem donat un mètode per determinar (en cas afirmatiu) si dos diagrames són d'un mateix nus. Però encara ens queda contestar la pregunta més bàsica: hi ha algun nus diferent del trivial?

Per resoldre aquesta qüestió introduirem la k-colorabilitat. Primer de tot, direm una veta d'un diagrama a un tros de la projecció que vagi des d'un punt doble al qual passi per davall a un altre on també passi per davall, o tot el nus si no té punts dobles. Donat un diagrama qualsevol, direm que és k-colorable per a k 3 si podem numerar cada una de les seves vetes amb un nombre entre 0 i k 1 de manera que hi hagi com a mínim dos nombres diferents i a cada punt doble es satisfaci que:

Si a és l'etiqueta de la veta superior del punt doble i b i c són les etiquetes de les dues vetes que acaben a aquest punt doble, llavors 2a = b+c mòdul k.

Si tenim k 3, la condició de k-colorabilitat es tradueix en emprar 3 colors diferents per a colorar un diagrama de manera que a cada punt doble o bé es trobin 3 vetes de diferent color o bé es troben 3 vetes de color igual.

Com es pot veure, els següents diagrames són 3-colorables.


Un resultat important, i fàcil de demostrar és el següent:
La k-colorabilitat es preserva per isotopies planars i per moviments de Reidemeister

Per tant, obtenim la conseqüència següent, encara més important:
Sigui k major o igual que 3.Si dos diagrames són del mateix nus llavors són ambdós k-colorables o no ho són cap d'ells.

En efecte, pel resultat de Reidemeister, dos diagrames són del mateix nus ssi existeix una sèrie finita de moviments de Reidemeister i d'isotopies planes que transforma l'un en l'altre, i si un és k-colorable, l'altre també ho és, ja que la colorabilitat es preserva per moviments de Reidemeister i per isotopies, i el resultat queda demostrat.

Amb aquest resultat podem definir ara la k-colorabilitat per a nusos:
Deim que un nus és k-colorable si existeix qualque diagrama seu que ho és. I un nus deim que no és k-colorable si existeix qualque diagrama seu que no ho és.


Recordem ara la pregunta inicial: "Existeix qualque nus diferent del trivial?" Aplicant el que ja sabem, veiem que el nus trèvol és diferent del nus trivial: Primer de tot, el nus trivial no és 3-colorable, ja que el seu diagrama més simple (sense cap punt doble) no ho és. Però ja hem vist que el nus trèvol sí ho és. Per tant concluim que el nus trèvol és diferent del nus trivial, tal i com la nostra intuïció ens diu.

Igualment, el nus vuit no és 3-colorable i per tant és diferent del nus trèvol, però, és diferent del nus trivial? Doncs sí, ja que és 5-colorable.

Aquesta nova eina, la k-colorabilitat, però, no és infal·lible, ja que existeixen nusos que no són distingibles per k-colorabilitat: per exemple, el nus trèvol és 3-colorable, a l'igual que la seva imatge especular. Però ambdós són també 6-colorables. Com es pot observar en aquestes equacions, si el nus trèvol és k-colorable, la seva imatge especular també és k-colorable i recíprocament. Però els dos nusos són diferents!

El que es va fer aleshores va ser cercar invariants topològics dels nusos que ens permetin decidir si dos nusos donats són el mateix o no, amb els que poguem classificar totalment els nusos i si és possible, computables a través de diagrames. L'eina dels moviments de Reidemeister, aparentment inútil per a aquesta tasca, ens ajuda a cercar invariants que es preservin per aquests moviments, amb la qual cosa tendrem garantida la invariança. Alguns dels invariants més importants són: el polinomi de Alexander, el polinomi de Jones, el grup fonamental,... De tots aquests en parlarem a la següent secció. Però encara no s'ha trobat un invariant infal·lible.

<< Pàgina anterior

Pàgina següent>> 

 Inici