Polinomis

Com ja hem recalcat, un dels problemes més importants de la teoria de nusos és determinar si dos nusos (o enllaços) són diferents o no. Una eina que ens permet resoldre aquest problema són els polinomis, uns invariants topològics que s'associen a un nus o enllaç i es calculen a partir dels diagrames.

El primer polinomi va ser introduït per James Waddell Alexander (1888-1971), un topòleg de Princeton, l'any 1927. Com ja hem comentat en l'apartat anterior, el polinomi d'Alexander va permetre distingir tots els nusos de fins a nou encreuaments. Aquesta troballa va ser de gran importància i s'ha mantingut com l'únic polinomi aplicat a nusos fins l'any 1984. John Conway va introduir l'any 1969 una modificació amb la qual es facilita el càlcul d'aquest invariant, ja que en un principi es treia per mitjà de regles algebraiques molt complicades, mentre que el mètode de Conway només s'aplica amb dues regles.

Notes sobre Alexander: va desenvolupar tota la seva carrera a Princeton. Va provar que el grup d'homologia d'un complex simplicial és un invariant topològic(1920). Va generalitzar el teorema de Jordan. L'any 1928 va rebre el premi Bocher de la American Mathematical Society pel treball "Combinatorial analisys situs".


El matemàtic de Nova Zelanda Vaughan Frederick Randal Jones (1952), mentre feia feina amb àlgebres d'operadors, va trobar quasi per casualitat un polinomi que pareixia satisfer els moviments de Reidemeister i per tant ser un invariant per els nusos. Així, l'any 1984, va néixer el polinomi de Jones. Aquest descobriment i el seu desenvolupament li va valer la medalla Fields el 1990. A l'annex es descriu el polinomi segons la interpretació que va trobar poc després Lou Kauffman (Universitat d'Illinois).

El polinomi de Jones diferencia tots els nusos amb manco de deu punts dobles. A més, no s'ha trobat cap nus pel que valgui 1, és a dir, que no el diferenciï del nus trivial (que té per polinomi de Jones 1). Però, no s'ha pogut provar que no n'hi hagi cap.

Vaughan Jones es va llicenciar a La universitat de Auckland (1973). Gràcies a les seves grans qualificacions va ser convidat a fer recerca a Suïssa. Va ingressar a l'Ecole de Physique primer i a l'Escoles Mathematiques després (1976). Va rebre el premi Vacheron Constantin per la seva tesi doctoral. L'any 1980 es traslladà als Estats Units Va passar per les universitats de Califòrnia, Pensilvània i, finalment, Berkeley (1985 com a catedràtic de matemàtiques). La seva feina ha creat connexions entre camps diferents de la matemàtica que ningú imaginava, com entre les àlgebres d'operadors i la teoria de nusos o entre aquesta mateixa i la mecànica estadística (una nova aplicació per la teoria de nusos). Com ja hem dit, Jones va rebre la medalla Fields al congrés internacional de matemàtiques de Kyoto al 1990. L'anècdota a aquest congrés va ser la inusual manera de vestir de Jones durant una conferència que impartí. Va sortit vestit una camiseta d'un equip de rugbi. El matemàtic Joan Birman afirmà a la seva presentació de Jones al congrés que és un home que encoratja als altres amb els seus intercanvis d'idees, explicant els seus descobriments des d'un principi, cosa que fa que molta gent pugui fer feina amb les seves idees. Diu "la seva franquesa i generositat en aquesta consideració han estat en la millor tradició i esperit de les matemàtiques".


El descobriment de Jones va revolucionar la teoria de nusos. Bona prova d'aquest fet és el descobriment d'un nou polinomi pocs mesos després. A més, aquest polinomi va ser trobat simultàniament per sis matemàtics a quatre diferents grups de recerca! Aquest polinomi agafa el nom de les inicials dels seus descobridors Hoste, Ocneau, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter. Per tant, el polinomi HOMFLY. Per més inri, aquest polinomi va ser trobat un poc més tard pels matemàtics polacs Przytycki i Traczyk. A partir d'aquests s'han trobat un bon nombre de polinomis.

El polinomi HOMFLY és, a diferència del polinomi d'Alexander i de Jones, un polinomi de dues variables. A més, aquests polinomis es poden trobar com a casos particulars del HOMFLY: tenint com a variables "l" i "m" del polinomi, si fem la substitució l = it-1 i m = i(t-1/2 - t1/2) obtenim el polinomi de Jones. Fent l = i i m = i(t1/2 - t-1/2) s'obté el polinomi d'Alexander. Això vol dir que aquest polinomi és molt més potent com invariant que els altres dos. S'han trobat molt pocs enllaços o nusos amb el mateix polinomi, essent quasi tots del mateix determinat tipus.

<< Pàgina anterior

Pàgina següent>> 

 Inici