Tabulació de nusos

Una de les preocupacions de la teoria de nusos és llistar tots els possibles nusos. Aquesta era al principi una feina delicada, ja que com hem vist hi ha moltes dificultats per esbrinar si dos nusos són diferents o si són el mateix. Les taules es varen anar verificant o corregint així com sorgien els diferents invariants dels nusos. Aquestes taules llisten els nusos pel nombre mínim de punts dobles que té en una projecció. A més, només es tabulen els nusos primers, és a dir, que els nusos que són suma connexa d'uns altres dos no apareixen. El primer nus de la taula és el trèvol (juntament amb la seva imatge especular), que té tres punts dobles. Els nusos amb un o dos encreuaments són el nus trivial(unknot).

Les primeres passes les va donar C. F: Gauss (1777-1855) i un alumne seu, el topòleg i físic Johann Listing (1808-1882). Listing, que va ser professor de física a Göttingen, va escriure el llibre Vorstudien zur Topologie (1847) on s'utilitza per primera vegada la paraula topologia ( que fins el primer quart d'aquest segle era coneguda com anàlisi situs). Listing va fer feina amb nusos i uns polinomis associat a ells.

Però va ser a partir de 1880 quan es va donar l'impuls definitiu per estudiar els diferents nusos. Lord Kelvin (William Thomson) va proposar la seva teoria atòmica on els diferents elements químics eren nusos fets d'èter. En conseqüència es varen posar a treballar en aquest camp diversos matemàtics, químics i físics. Els treballs de Thomas P. Kirkman estan plens d'ofuscació per la difícil feina que s'havia de fer.

Ràpidament es va veure que els nusos i els elements de la taula periòdica no tenien res a veure. Però en aquell temps, Kelvin va fer un interessant treball sobre la hidrodinàmica dels vòrtexs i el físic Peter Guthrie Tait (1831-1901) va publicar articles sobre la classificació dels nusos fins a deu encreuaments (1877-1885). En els seus articles, Tait fa feina amb una primerenca noció d'isotopia, basada en com una projecció podia ser deformada de manera continua per convertir-se en una altra. Amb aquest concepte de la manipulació de les projeccions, Tait va enunciar una sèrie de conjectures, algunes de les quals encara no han estat provades o refusades.

L'americà Charles Newton Little (1858-1923) va intentar tabular els nusos no alternats de 10 encreuaments. Little es va graduar a la Universitat de Nebraska, fent la seva tesi doctoral a Yale amb el nom "On knots, with a census for order 10" (1885). Va tenir l'oportunitat d'estudiar a Alemanya amb Klein i Hilbert., on va examinar els treballs sobre nusos de Gauss i Listing. Va ser en aquest període (1899), que va publicar la seva taula amb 43 nusos no-alternats. Entre aquests nusos hi ha una repetició, amb la particularitat de que no es va trobar fins 75 anys després. La troballa fou obra d'un advocat de Nova York, Kenneth Perko, un afeccionat a les matemàtiques que es va adonar del fet manipulant cordes al terra de la seva sala d'estar. Aquests dos nusos, que de fet són el mateix, són coneguts com el parell de Perko (Perko Pair).

=

 

 

 

Little encara publicà una taula dels nusos primers amb 11 encreuaments. Al 1901, Little va passar a ser professor d'enginyeria civil a la Universitat de Idaho, i més tard degà de la Facultat d'Enginyeria (1911). En les darreres setmanes de la seva vida, després d'haver deixat el lloc de degà, tornà a la seva recerca en teoria de nusos. Juntament amb uns col·laboradors començà a fer plans per un nou assalt a aquest difícil camp de l'anàlisi situs, segons les seves paraules.

Mary Gertrude Haseman (1889-1960) va ser la primera en atacar amb èxit els nusos de 12 encreuaments. Després d'haver-se graduat Cum Laude a la Universitat de Indiana, va fer la seva tesi doctoral a l'institut Brynn Mawr amb el nom "On knots, with a census of the amphirecheirals with twelve crossings" (1917) on llista els nusos aquirals (els que són iguals a la seva imatge especular) de 12 encreuaments.

Com ja hem remarcat, hi havia dificultats per poder validar les taules ja que no es podia verificar que els nusos fossin diferents. El 1927, J. Alexander i Briggs varen provar que tots els nusos llistats a les taules de manco de 9 encreuaments eren diferents. El mètode va ser l'aplicació del polinomi d'Alexander, un invariant dels nusos i únic fins l'any1984. Finalment, Kurt Reidemeister va tancar rigorosament la classificació dels nusos fins a 9 punts dobles al 1932.

Aquí trobaràs la taula amb els nusos fins a nou encreuaments.

L'any 1969, l'anglès John Horton Conway va tabular els nusos primers de 11 encreuaments, aplicant una nova notació, la qual es tractada més endavant. Conway va formular les seves noves idees a l'institut, encara que no va ser fins més tard que les va aplicar degut a l'extensa varietat de camps que l'interessaven. Amb la seva notació, afirma que va ser capaç de fer la feina que Little va trigar en fer en set anys només en una horabaixa. El mèrit de Conway va ser també el de fer tota la seva feina sense l'ajut de computadors, sense pràcticament errades.

Conway, també és conegut per ser el creador del "Joc de la vida" (The game of Life), que es va fer famós entre els imformàtics dels 70, que consisteix en una col·lecció de cel·les que, segons unes regles, poden viure, morir o reproduïr-se. També va aportar invencions a la matemàtica recreativa. Va inventar els jocs "Drago" i "Cols de Brussel·les", el primer juntament amb un estudiant graduat que feia feina amb ell. El Drago, és un joc per dos jugadors, en el que a partir d'uns punts, s'han de fer corbes unint aquests punts i generant un de nou a la corba que traçam, amb les restriccions de que de cada punt només poden sortir tres corbes i que les corbes no es poden tallar entre sí. Guanya la darrera persona en poder moure. D'aquest joc genera molt de problemes matemàtics, com el nombre de moviments que es poden fer, les possibilitats que es tenen de guanyar la partida, etc. Mentrestant, el joc de les cols de Brussel·les, del mateix tipus que el Drago, no és pròpiament un joc, ja que sempre acaba amb el mateix nombre de moviments.

El 1978, Alain Caudron, professor de la Universitat de Paris, va corregir les duplicacions i absències de la taula de Conway.

El mateix any 1978, el canadenc Hugh Dowker donà una nova notació basada en les idees de Tait en el segle anterior (La notació ve a continuació com annex). Aquesta notació ha servit per computar els diferents nusos de 12 i 13 punts dobles. L'anglès Morwen Thistlethwaite va dissenyar l'algoritme que primer generà els nusos primers de 12 encreuaments l'any 1981 i l'any posterior els de 13. Així va determinar la taula següent :


Nombre de punts dobles 3 4 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Nombre de nusos 1 1 2 3 7 21 49 165 552 2176 9988 46972 253293

 

Tots aquests nombres representen el nombre de nusos primers que hi ha sense tenir en compte les imatges especulars d'aquests, ja que la notació de Dowker no els diferencia. Per tant, si un nus no és aquiral només el conta una vegada, quan en realitat són dos nusos diferents.

Thistlethwaite va determinar els nusos de 12 encreuaments que son aquirals i va provar que cap dels nusos de 13 ho és, que era una conjectura que no havia estat demostrada.

Com podem veure, el nombre sembla augmentar de manera exponencial. L'any 1987, Claus Ernst i Dewit Sumners de la Universitat de Florida varen provar que el nombre mínim de nusos és (2n-2-1)/3 per n > 3. Dominic Welsh ha provat que està molt a prop d'una exponencial en n.


<< Pàgina anterior

Pàgina següent>> 

 Inici