Els moviments de Reidemeister

Una de les preguntes que ens podem fer entorn als nusos és la següent: hi ha algun nus diferent del nus trivial? Quan tenim, per exemple, el nus trèvol i el manipulem, ens adonem que no el podem desfer. Però, com podem demostrar això matemàticament?

= ?

Pareix que aquests nusos són diferents...

Una altra pregunta relacionada amb aquesta i que pareix més general és: com podem saber si, donats dos diagrames diferents de nusos, són del mateix nus?

 

(Imatge especular)

Són diagrames del mateix nus...?

Per resoldre aquestes dues preguntes, introduirem dos conceptes: els moviments de Reidemeister i la k-colorabilitat.

Kurt Reidemeister (1893-1971) va néixer a Brunswick, Alemanya, poble natal de Gauss. La seva tesi doctoral va ser sobre teoria de nombres algebraics, publicada al 1921 i l'únic article seu sobre aquest camp. Al 1926 va escriure un important llibre Knoten and gruppen, en el qual introduïa els conceptes de 3-colorabilitat i els "seus" moviments, i demostrava propietats importants que tot seguit comentarem. En 1927 va acceptar una càtedra a Köninsberg i al 1930 organitzà la primera conferència internacional de filosofia en matemàtiques, dins el congrés alemany de matemàtiques. Al 1933 els nazis l'obligaren a deixar la seva càtedra perquè el consideraven "políticament incorrecte". Després se li atorgà una càtedra a Hensel, una universitat menys prestigiosa i més petita. Va tenir una gran influència sobre la teoria de grups i la relació que hi ha entre teoria de grups i nusos.
El seu treball a la teoria de nusos va ser fonamental per a la formalització dels nusos i per a la demostració de propietats sobre ells. Fins aleshores s'havien llistat nusos, però de manera totalment intuïtiva. Gràcies al treball de Reidemeister es va poder començar la tabulació dels nusos d'una manera formal.

Donat un diagrama d'un nus, li podem fer una deformació en el pla de projecció del nus com si fos un elàstic, de manera que l'estructura dels punts dobles no canviï. Això és el que direm una isotopia planar.

Els moviments de Reidemeister són una sèrie de tres moviments que sí canvien l'estructura dels punts dobles. El primer moviment de Reidemeister ens permet posar o llevar una volta en el nus, com es pot veure a la figura següent:

El segon moviment de Reidemeister ens permet afegir dos punts dobles o a llevar-ne com es mostra en aquesta figura:

El tercer moviment de Reidemeister ens deixa travessar una part del nus sense punts dobles des d'un costat d'un punt doble a l'altre:

 

Reidemeister va demostrar al 1926 que, donats dos diagrames diferents, aquests són del mateix nus si i només si existeix una sèrie finita d'isotopies planars i moviments de Reidemeister que transformen l'un en l'altre. Aquest resultat ens serveix per demostrar que dos diagrames són del mateix nus, però no podem dir res si són de nusos diferents, ja que no podem fer totes les isotopies planars i moviments de Reidemeister d'un diagrama.

Per exemple, podem passar per una sèrie d'isotopies planars i de moviments de Reidemeister i així demostrar que aquests dos diagrames són en realitat del mateix nus.

Una pregunta encara oberta, però resolta teòricament és la següent: donat un diagrama, existeix un algorisme que decideixi si és el diagrama del nus trivial?

L'existència d'un algorisme va ser demostrada per W.Haken l'any 1961. Però la llargària d'aquest (130 pàgines) fa que aquest algorisme sigui inservible a nivell pràctic. Darrerament, emprant una conjectura topològica de Seifert encara no resolta, s'han construït algorismes pràctics i eficients.

*Wolfgang Haken va demostrar, juntament amb Kenneth Appel, un dels problemes més famosos de les matemàtiques, el teorema dels quatre colors, que va haver de ser demostrat emprant ordinadors per enumerar els centenars de casos que havien de ser examinats.

<< Pàgina anterior

Pàgina següent>> 

 Inici