Teoria bàsica

Com hem dit abans en la introducció un nus no és més que una corba tancada a R3 que no s'interseca ella mateixa, per exemple les corbes següents no són nusos ja que no són tancades

Més formalment un nus és una aplicació de S1 en R3 continua e injectiva, encara que com solem fer quan xerram de corbes identificarem el nus amb la imatge de l'aplicació.

A la introducció hem xerrat també de quan dos nusos són el mateix, direm que dos nusos són equivalents quan un pot ser transformat en l'altre de manera continua. Donats dos nusos no és senzill veure si són equivalents o no, fins i tot si un d'ells és el trivial, per exemple en el cas següent

nus trivial nus trèvol

Si ho pensam una mica ens convencerem que el nus trèvol no és el nus trivial, encara que demostrar-ho és una altre cosa.

Com hem fet abans representam els nusos en el pla. El que feim és representar projeccions ortogonals del nus sobre un pla, aquests diagrames s'anomenen diagrames de nus. Quan dues branques del diagrama s'intersequin distingim de la forma usual quina branca està per damunt i quina per davall. Un punt d'intersecció l'anomenarem punt doble. Podem tenir diferents projeccions d'una mateixa corba i tenint en compte que si deformam un nus obtenim el mateix, obtenim diferent diagrames plans d'un mateix nus. A més els diferents diagrames d'un nus no tenen perquè tenir el mateix nombre de encreuaments. Per tant direm que els punts dobles no són una invariant topològica del nus. Aquí tenim tres diagrames d'un mateix nus anomenat vuit.


Direm que un diagrama és alternat quan al recórrer-lo amb una orientació, al passar pels diferents punts dobles anam fent-ho una vegada per damunt i l'altre per davall de manera alternada. Dels tres diagrames del nus vuit els dos primers són alternats però el tercer no.

Donat un nus K denotarem la seva imatge especular per K*, en principi K no té perquè ser equivalent a K*. Direm que K és quiral quan K i K* no són equivalents, i aquiral quan ho siguin. La imatge especular d'un nus K donat per un cert diagrama té per diagrama el mateix però on ara en tots els encreuaments la branca que passava per damunt ara passa per davall i al revés.

Donats dos diagrames de dos nusos, si feim un tall a cada diagrama i després unim els quatre caps, un de cada nus amb un de l'altre, obtenim un nou nus que anomenarem la composició dels dos nusos originals. Així doncs tenim una manera d'operar nusos. Al fer aquesta operació hem de tallar un arc que estigui a les afores del nus i evitar crear noves interseccions al diagrama resultant, com en la figura següent.

Deim que un nus és compost si es pot obtenir com la composició de dos nusos, on cap d'ells és el trivial. Cal notar que si composam un nus amb el nus trivial obtenim de nou el nus original, igual que quan multiplicam un enter per 1 obtenim el mateix enter.

Anàlogament als enters definim un nus primer com aquell que no es pot posar com a composició de dos nusos no trivials. De manera també anàloga a la descomposició en factors primers tot nus compost factoritza com a composició d'un únic conjunt de nusos primers.
Una diferència entre la composició de nusos i la multiplicació d'enters és que hi ha més d'una manera de composar dos nusos. Al composar triam on tallar el nus, moltes vegades una elecció diferent ens dóna nusos diferents.


A part de composar nusos també els podem juntar, i formar enllaços. Un enllaç és una família finita de nusos disjunts i embolicats entre ells. Als diferents nusos que formen l'enllaç els anomenam components. Així doncs un nus és un enllaç d'una sola component.

De manera similar als nusos, direm que dos enllaços són equivalents quan podem deformar de manera contínua un enllaç en l'altre sense que cap component travessi a qualsevol altra ni a ella mateixa. També representam els enllaços mitjançant diagrames plans. Aquí tenim alguns exemples d'alguns enllaços.

Enllaç de Hopf

Dues projeccions de l'enllaç de Whitehead

L'enllaç Borromeu

<< Pàgina anterior

Pàgina següent>> 

 Inici