Joseph-Louis Lagrange Nascut el 25 de gener de 1736 a Torí, Sardinia-Piedmont (ara Itàlia) Mort el 10 d’abril de 1813 a Paris, França.

 
 

Lagrange va començar a estudiar dret a la universitat de Torí tal i com el seu pare desitjava. En un principi no va mostrar gaire interès per les matemàtiques, per exemple trobava la geometria grega avorrida.

L’interès de Lagrange per les matemàtiques  va comença quan va llegir un a copia de un treball sobre les aplicacions de l’àlgebra a l’òptica. També es va mostrar atret per la física i va decidir fer la carrera de matemàtiques de manera autodidacta. I encara que es va dedicar a fons a les matemàtiques no va poder gaudir de les avantatges d’estudiar amb els matemàtics més importants.

El 23 de Juliol 1754 va publicar el seu primer treball en forma de carta en que traçava una analogia entre el teorema binomial i les derivades successives del producte de funcions. Aquest treball no va ser cap obra mestre i en ella es veia que Lagrange  feia feina tot sol i sense l’ajut de cap matemàtic que el supervisàs.

Un mes després de publicar el seu treball, Lagrange es va adonar que els resultats apareixien a la correspondència entre Johann Bernoulli i Leibniz. Això va provocar que Lagrange multipliques els seus esforços a produir resultats propis. Així va començar a fer feina sobre el tautrochron, la corba on una partícula carregada arribarà sempre a un punt fixat en el mateix temps independentment de la seva posició inicial.

Cap el final de 1754 va fer alguns descobriments importants sobre el tautochron que envià a Euler i  que contribuïren substancialment  al nou camp del càlcul varicional. Els resultats van impressionar molt a Euler que es va trobar amb un jove Lagrange ple de noves idees i que poc desprès, només amb 19 anys, va ser anomenat professor de matemàtiques de la Escola Reial d’Artilleria a Torí.

Euler va proposar Lagrange perquè fos membre de l’acadèmia de Berlín i fou elegit el 2 de setembre de 1756. Un any desprès Lagrange fou membre fundador d’una societat científica  a Torí (que es va convertir en la Reial Acadèmia de les Ciències de Torí)

L’any 1766 Euler torna a St. Petersburg i  d’Alembert escriu a Lagrange per animar-lo a acceptar un lloc a Berlín. Lagrange va acceptar va arribar en octubre a Berlín i va succeir a Euler com director de matemàtiques  a l’Acadèmia de les  Ciències a Berlín. Allà es va casar i hi va fer feina al llarg de 20 anys.

Cap a mitjans de l’any 1787 va anar a Paris per ser mabre de l’Acadèmia de les Ciències de Paris on va quedar la resta de la seva carrera. Allà va publicar Mécanique analytique (1788) que resumia tot el treball fet en el camp de la mecànica des de el temps de Newton.

El 1790 Va ser elegit com a membre del comitè de pesos i mesures. Això pren major importància pel que l’any 1973 durant El Terror es van fer tancar tant l’Acadèmia de les ciències com altres associacions del mateix tipus, llevat del comitè de pesos i mesures i encara que es va aprovar una llei que ordenava arrestar a tots els estrangers Lagrange va ser dispensat i es convertir  en el  president del Comitè.

Quan es va fundar l’Ecole Polytechnique el 1794 Lagrange va ser el seu primer professor d’anàlisi. I desprès a l’ecole normale  va impartir classe de matemàtica elemental.

Al 1797 publica Théorie des fonctions analytique i en 1800 Leçons sur le calcul des fonctions.

Al 1808 Napoleó el va nomenar membre de la Legió d’Honor i Comte de l’Imperi. I en 1813 se li va atorgar la gran croix de la Ordre Impérial de la Réunion i va morir una setmana desprès.
 

La Teoria de funcions de Lagrange (Théorie des fonctions analytiques)

La teoria de funcions de Lagrange no era útil des de el punt de vista pràctic ja que la les notacions usuals del càlcul diferencial eren molt més fàcils de manejar que la “funció deriva” de Lagrange, d’on prové el nostre nom de “derivada”. L’idea fonamental de l’obra no era, però, la de intentar fer el càlcul més útil o més fàcil d’aplicar, sinó la de fer-lo més satisfactori des de el punt de vista lògic, és a dir més rigorós. La idea clau es: Si desenvolupam la funció   per mitja de la “divisió llarga”, obtenim la sèrie  si multiplicam ara el coeficient de xⁿ per n! al resultat obtingut Lagrange el va anomenar el valor de la funció derivada n-ésima de la funció f(x) per el punt x=0, amb les corresponents modificacions per als desenvolupaments de funcions en torn a altres punts distints de l’origen. A aquesta obra de Lagrange devem les notacions emprades avui per les derivades successives, , d’una funció f(x). Lagrange creia que amb aquest mètode havia aconseguit eliminar la necessitat d’infinitesimals o de límits, encara que els va continuar emprant paral·lelament a les seves funcions derivades. Però desgraciadament no tota funció es pot desenvolupar d’aquesta forma. Per altra part hi havia la qüestió de la convergència de les sèries infinites que torna fer inevitable la necessitat del concepte de límit. Encara així l’obra de Lagrange va tenir una gran influència en el desenvolupament posterior de les matemàtiques ja que va iniciar un camp nou que ha estat des de les hores el vertader centra de les matemàtiques: la teoria de funcions d’una variable real.

El càlcul de variacions

La primera contribució de Lagrange  a les matemàtiques i potser la més important és el càlcul de variacions. En la seva forma més simple en càlcul variacional tracta de determinar una certa relació funcional y = f(x) tal que una integral     prengui un valor màxim o mínim. Els problemes de isoperimetries o de descens més ràpid són casos especial del problema general del càlcul de variacions.

Lagrange influenciat possiblement pel càlcul variacional, va mostrar interès per problemes tridimensionals, intentant trobar sempre una solució analítica. Ell va ser , per exemple el primer en donar la formula

per a la distancia D d’un punt (p, q, r) al pla  ax + by + cz = d

Els multiplicadors de Lagrange

Lagrange va introduir l’anomenat mètode de la variacions de les constants en la resolució de equacions diferencials lineals no homogènies . És a dir, si c₁u₁ + c₂u₂ es solució general de l’equació  y’’ + a₁y’ + a₂y = 0, on u₁ i u₂  són funcions de x, aleshores Lagrange substituïa les constats c₁ i c₂ per unes noves variables v₁ i v₂, funcions indeterminades de x, que se determinen imposant la condició que v₁u₁ + v₂u₂ sigui una solució de l’equació no homogènia donada y’’ + a₁y’ + a₂y = f(x).

Per resoldre el problema de la determinació dels màxims i mínims d’una funció f(x, y, z, w), condicionats per les equacions g(x, y, z, w)=0 i h(x, y, z, w)=0 Lagrange va proposar la utilització del mètode que més tard s’anomenaria els “multiplicadors de Lagrange”. El mètode consisteix en introduir dues constants  dues constants indeterminades i , construir la funció Ff + g + h, i a partir de les si equacions F_x= 0, F_y= 0, F_z= 0, F_w= 0, g=0 i h=0, eliminar els multiplicadors  i , i resoldre el sistema per trobar els valors cercats x, y , z i w.

Teoria de nombres

Lagrange es va interessar també per la teoria de nombres. Va demostrar una equivalència al teorema que afirma que, respecta a un mòdul primer p, la congruència f(x)0 no pot  tenir més de n  solucions distintes essent n  el grau del polinomi f(x)( llevat que tots els coeficients  de f(x) siguin múltiples de p. Va fer una demostració del teorema que diu que tot sencer positiu es suma de quatre quadrats perfectes com a màxim conegut generalment com el “teorema de Lagrange dels quatre quadrats” (encara que Fermat va assegurar en el seu dia haver-ne donat una demostració). I finalment va fer la primera demostració correcta del resultat conegut com a “teorema de Wilson” que diu que per a tot nombre primer p, el nombre   es divisible per p.

Lagrange  també es va dedicar a la teoria de probabilitats, encara que en aquest camp sempre va ocupar un segon lloc darrera de Laplace.