Adrien-Marie Legendre
Nascut el 18 de setembre de 1752 a Paris , França
Mort el 10 de gener de 1833 a Paris, França

Legendre venia d’una família rica  i va rebre educació de primera qualitat en matemàtiques i física al Collège Mazarin a Paris.

En els 18 anys Legendre va defensar la seva tesis en matemàtiques i física al Collège Mazarin.

Des de 1775 fins el 1780 Va fer classes juntament amb Laplace a l’Ecole Militaire.

El seu treball Recherches sur la trajectoire de projectiles dans les milieux résistants  va guanyar el premi de 1782 sobre projectils organitzat per l’Acadèmia de Berlín. Això va impulsar la carrera de Legendre.

El 1783 Va ser anomenat adjunt a l’Acadèmia de les ciències omplint el lloc buit quan Laplace va ser ascendit a associat. Va publicar treball en diversos camps: Mecànica celest(recherches sur la figure des planètes(1784)), teoria de nombres(recherches d’analyse indéterminée(1785)), teoria sobre funcions el·líptiques(treball sobre integrals el·líptiques(1786))

El 1785 va ser associat a l’acadèmia i desprès en el 1787 va ser membre de l’equip la tasca del qual era col·laborar amb el Royal Observatory at Greenwich. Per els treball fet amb aquest observatori fou elegit membre de la Royal Society of London i va desemboca en la publicació de Mémoire sur les opérations trigonométriques dont les résultats dépendent de la figure de la terre que conté el teorema de Legendre sobre triangles esfèrics.

El 1791 Legendre es va convertir a membre del comitè de pesos i mesures. Quan la acadèmia va ser tancada al 1793 Legendre va tenir dificultats  perquè va perdre el capital que li proporcionava una vida còmoda.

El 1792 Comença una important tasca de produir les taules logarítmiques i trigonomètriques, El Cadastre. Legendre i de Prony varen dirigir la secció matemàtica d’aquest projecte juntament amb carnot i altres matemàtics. Tenien entre 70 i 80 ajudants i la feina va durar fins el 1801.

El 1794 publica Éléments de Géometrie que va ser el manual elemental sobre aquesta matèria durant uns cent anys.

Quan l’Acadèmia es va tornar obrir al 1795 amb el nom de Institut National des Sciences et des Arts Legendre va ser un dels sis  membres de la secció de matemàtiques. I el 1803 Napoleó va reorganitzar aquest Institut i va crear una secció de geometria on hi va ser Legendre.

Legendre va publicar en 1806 un llibre sobre com determinar les òrbites dels cometes, En ell apareixia el mètode dels mínims quadrats per fer que les dades obtingudes es corresponguessin amb la corba de l’òrbita del cometa. Gauss publicà la seva versió d’aquest mètode al 1809 i, tot i que reconeixia que aquest mètode apareixia en el llibre de Legendre, va reclamar ser-ne l’autor. Això va ferir molt a Legendre que va lluitar durant molts d’anys per a que se li reconeixes el seu dret.

En 1808 Legendre va publicar una segona versió de  Théorie des nombres que va ser una millora considerable respecte la primera edició de 1798. Ja que, per exemple, Gauss va criticar amb raó sobre la prova de la  llei de la reciprocitat quadratica.

El treball principal de Legendre sobre funcions el·líptiques va aparèixer en el llibre Exercices du Calcul Intégral que va aparèixer en tres volums (1811, 1817 i 1819) que va ser reeditat el novembre de 1824.

No content amb aquesta reedició  el 1825 va començar la reedició d’aquest nou treball que també va publicar en tres volums (1825,1826,1830). Així i tot Legendre mai va tenir la claredat d’idees de Jacobi o Abel i poc desprès de publicar aquest treball ja era obsolet.

Al 1824 Legendre es va negar a votar el candidat per l’Institut National  proposat pel govern. Com a conseqüència se li va retirar la seva pensió i va morir dins la pobresa.

Els Éléments de Géometrie de Legendre

La geometria es trobava en un estat lamentable, això va impulsar a Legendre a escriure Éléments de Géometrie(1794). Que resultà ser un llibre de text que va tenir molt d’èxit i influència. Això ho demostra el fet que apareguessin vint edicions d’aquesta obra durant la vida de Legendre i que el Davies’ Legendre(nom del llibre a Amèrica)   arribas a ser un sinònim de geometria a Amèrica.

Les integrals el·líptiques

En els seus tractats Legendre va introduir el nom de “integrals eulerianes” per designar les funcions beta i gamma. I va crear qualques eines bàsiques de l’anàlisi que resultaren tan útils als físics com als matemàtics, que duen el seu nom des de les hores. Entre elles hi apareixen les funcions de Legendre, que són solucions de l’equació diferencial de Legendre
 

Les solucions polinòmiques de aquesta equació per valors sencers positius de n  es coneixen amb el nom de polinomis de Legendre.

Legendre va centrar gran part dels seus esforços a reduir les integrals el·líptiques, es a dir, les quadratures de la forma  , on R és una funció racional i s és l’arrel quadrada d’un polinomi en x de tercer o quart grau, a tres formes canòniques que duen el seu nom. Les integrals el·líptiques de primera i segona espècia en forma de Legendre són:

i

respectivament on K2 < 1. Les de tercera espècia son una mica més complicades i per això mateix no les reproduïren aquí.

Aquestes integrals son molt importants. Per exemple al resoldre l’equació del moviment del pèndol ens apareix de manera natural una integral el·líptica de primera espècia de Legendre.

La teoria de nombres

Legendre també va destacar en teoria de nombres. El va atreure de manera especial el “darrer teorema de Fermat” del qual donà una demostració per n=5.

També es molt important el teorema sobre congruències  que es coneix com la llei de reciprocitat quadratica que diu: si p i q  son nombres primers (2) aleshores les congruències   i  o bé són totes dues resolubles o bé són totes dues irresolubles llevat que p  i q siguin de la forma 4n+3, que són una resoluble i l’altre no.
Que en notació de Legendre queda de la forma:

on el símbol de Legendre  representa 1 o –1, segons que la congruència  sigui resoluble o no en x.

També va conjectura que (n) ( el nombre de primers menors que el nombre natural n) es va aproximant a :

Que s’acosta a la formulació precisa que es coneix amb el nom del teorema dels nombres primers que afirma que :

que no es va demostrar fins a 1896.

Finalment també va demostrar que no existeix cap funció algebraica racional que prengui com a valors sempre nombres primers.